玻恩近似是经典量子力学中的散射微扰计算方法中具有代表性的一种。其转化矩阵可以写为
$$ \bra{p'} i \hat{T} \ket{p} = -i \tilde{V}(\bm{q}) (2 \pi) \, \delta( E_{p'} - E_p ) $$其中 $ \bm{q} = \bm{p'} - \bm{p} $。
故然可以使用其它方法得到这个结果，但如果要用路径积分呢？
假设哈密顿量为 $ H = {p^2 \over 2m} + V(x) $，那可以得到拉氏量为：
$$ L = {1 \over 2} m \dot{x}^2 - V(x) $$这是一个简单的勒让德变换。
由传播子的定义有
$$ K = \braket{x_f,{T \over 2}|x_i,-{T \over 2}} = \int_{x(-T/2)={x_i}}^{x(T/2)={x_f}}\mathrm{D}x \, \exp\{iS\}=\int_{x(-T/2)={x_i}}^{x(T/2)={x_f}}\mathrm{D}x \, \exp\{iS_0\} \exp\{iS_I\} $$其中 $ S_0 $ 是自由粒子作用量，而 $ S_I = - \int \mathrm{d}t' V(x(t')) $。 根据微扰论，假设 $ V $ 很小，把 $ \exp $ 展开到前两顶可以得到
$$ K=\int_{x(-T/2)={x_i}}^{x(T/2)={x_f}}\mathrm{D}x \, \exp\{iS_0\}\left[1 - i\int \mathrm{d}t' V(x(t'))\right] = K_0 + K_1 $$$ K_0 $ 就是自由粒子的传播子而已，我们关心 $ K_1 $ 会有
$$ \begin{align} K_1 &= -i\int \mathrm{d}t'\int \mathrm{D}x \, \exp\{iS_0\} V(x(t')) \\ &= -i\int \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}x' \, V(x') \int_{x(-T/2)={x_i}}^{x(t')={x'}} \mathrm{D}x \, \exp\{iS_0\} \int_{x(t')={x'}}^{x(T/2)={x_f}} \mathrm{D}x \, \exp\{iS_0\} \\ &= -i\int \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}x' \, V(x') \, K_0(x_f,T/2;x',t') \, K_0(x',t';x_i,-T/2) \end{align} $$根据转化矩阵的定义，可以得到
$$ \begin{align} &\bra{p'} i \hat{T} \ket{p} \\ =& -i\int \mathrm{d}x_a \, \mathrm{d}x_b \braket{p'|x_a.T/2}K_1(x_a,T/2;x_b,-T/2) \braket{x_b,-T/2|p} \\ =& -i\int \mathrm{d}x_a \, \mathrm{d}x_b \, \mathrm{d}t' \, \mathrm{d}x' \, V(x') \, \psi_{p'}^*(x_a,T/2) K_0(x_a,T/2;x',t')K_0(x',t';x_b,-T/2) \psi_p(x_b,-T/2) \end{align} $$发现前后两对传播子和波函数可以被 $ x_a $，$ x_b $ 的积分积掉，得到 $ (x',t') $ 处的波函数。 然后直接代入平面波的表达式就可以得到
$$ \begin{align} &\bra{p'} i \hat{T} \ket{p} \\ =& -i\int \mathrm{d}t' \, \mathrm{d}x' \, V(x') \psi_{p'}^*(x',t') \psi_p(x',t') \\ =& -i\int \mathrm{d}t' \, \mathrm{d}x' \, V(x') \, \mathrm{e}^{i(\bm{p}-\bm{p'})x'-(E_p-E_{p'})t'} \\ =& -i(2\pi)\,\delta(E_p-E_{p'}) \int \mathrm{d}x' V(x') \, \mathrm{e}^{-i\bm{q}x'} \\ =& -i(2\pi)\,\delta(E_p-E_{p'}) \tilde{V}(\bm{q}) \end{align} $$就得到了我们想要的结果。这个式子常在量子场论中被用来对比得出相互作用在非相对论极限下的相互作用势。